國中部 孟慶台 老師
美的境界人人嚮往，但要描述什麼才是美？人人的標準不一，沒個理。原因無它，就在他的主觀性與體驗性， 這是最難用語言精確表達的。也難由師徒相授而學得來的感覺，縱然哲學的研究與論述早就有所謂的美學。
其實從歷史中我們也不難看出不論藝術也好、哲學也好，都受限於時空而表現出的是那個時代特有的風格與內 在價值。然而今天我想相對於這種只可意會不可言傳的感性美，來看另一種所謂客觀存在的數學美。
數學的美是如何界定；在此我先介紹哈賽(Hasse)的說法，他認為數學作品除最基本的對或錯、有用與否外； <註一>可將它們分成三個層次。
最低的層次哈賽稱之為顯微層次(atomic level)，這是對個別公式或劍定理的判斷，我們不但要求這公式或定理能清楚地反應出它表示的數學內涵，而且要 求其形式簡潔、勻稱，一眼看過去有詩意般的味道。
第二個層次是目的性與雅致性的講究。雅致大家都了解，目的性則是要求在證明的過程中，每一個步驟要讓人 清楚我們正在做什麼，朝著那個方向走，步步高陞目標(證明的終點)還有多遠。與這相反的是所謂鼠籠式的證明( mousetrap proof)我們始終被誘著一步步跟著證明走，最後突然門關了起來，證明就結束了。這也讓我想到黃武雄教授寫的一 篇文章<老師，我們去那裡？>中的「尾隨教法」。<註二>同一時，哈定(Hardy)亦指出數學證明，應該像單純明確 的星座，而不是銀河裡的一簇星星。
最高的審美層次哈賽認為是理論的整體美，其中的每一部分(效率的起源，想解決的問題，基本定義，預備定 理，主要定理與所有的證明)都應該各自具備上述第一及第二層次的標準，而且各部分之間有密切的連繫，並在作 品中，顯示出對目標(相解決的問題)鍥而不捨的追求；利用令人佩服的論點，把作品組織成為一個活的和諧的有機 體；而且其一般性又有足夠的水準。以上的看法可以說相當平易近人。 另外哈定對數學定理的美也說的很好；他認為數學定理的芙相當依賴嚴謹性，而這嚴謹性誰於實用的結果，也 超越了一般邏輯上的無誤，而在於它所連結的數學概念的重要性；我們可以大概地說一個數學概念的重要與否，端 視它是否能夠自然而然發人深省地與其他一大群數學概念連絡起來。因此一個嚴謹的數學定理(能連結其他重要概 念的定理)，很可能導致數學本身，或其他科學的重要發展。
他舉了兩個極棒的例子，一為「歐幾里得的質數無限」的證明，這個概念的重要是因為質數是建立算數的原料 ，而「歐幾里得的質數無限」保證這工作有夠多的原料。另一為畢達哥拉斯的■為無理數的證明，這個偤最早發現 的無理數之一(公元前500年左右)證明推翻了當時認為的所有同類的量都是可通約的，亦即任何兩個長度都是某一 共同單位的倍數(這也就是大家所熟知的有理數)。無理數神秘的面紗事實上是經過兩千四百年，偤不斷的質疑，爭 論與反覆的探索，才建立起嚴密的系統理論。有趣的是實數系統理論發表後不久，大家早已熟悉的自然數、有理數的嚴密理論才正式出爐，數系的宏偉建築竟然是由上而下的。所以這兩個定理的嚴謹性是無疑的了。
至於「實用性」對一個工程師，小於1,000,000,000的質數有50,847,478已夠用了；其他不要對他一樣高興。而畢氏定理呢？無理數顯然也派不上用場，因為工程師一樣僅關心近似值，而近似值皆是有理數。
康德將美界定為「理想的形式」；在他看來，「美」就是一種「理想形式」的表現。藝術也不僅是模仿，而在於理想化，它希望從特殊中表現「普遍的形式」。所以當一件作品的精神內涵愈有深刻的真理時，它就顯得愈「美」。就在普遍看來，但是太多了，不可避免地 造成索然無味。「每件東西恰如其分，而不是另一件東四」，一個許多物品都具有的性質，不太可能吸引人；而數學概念也會暗淡下來，除非它們具有許多個性。套句懷海特的話「偉大的普遍性，股長於愉快的特殊，才是豐富的概念。」<註三>
換言之在數學的研究中，我們要排除主觀的因素，完全以邏輯、因果為依歸。但在之後的美感裡我們可以重新把所有主觀的因素聚集整合起來，藉著主觀上詮釋的狸，獲取其中飽滿的意義，來充實我們個人的生命。具有永恆美的數學，就像最好的文學、繪畫一樣，數千 年以後，仍將繼續帶給成千知音強烈的情緒上的滿足，這就是藝術的功用。
註釋：
一、數學世界中的萬花筒，牛頓文庫，黃敏晃著，P184-188。
二、數學教室專文V11-7V11-9。
三、一位職業數學家的辯白，Hardy，水木耳譯，凡異出版，P38-46。
國三３ 賴妍榕
記得國小的時候，自己在班上的數學成績是數一數二的差，升國一的那個暑假，便下定決心要把數學學好，於是每天做數學不下二小時，兩個月後效果的確顯著，我好像開竅了似的，雖然沒什麼風起雲湧的表現，卻不再對數學如此懼怕了。
最近數學成績退步許多，本以為是太緊張，後來才發現主因其實是題目練習太少，才會在看到題目時不知所措，也進一步了解：真正有實力的人，考試時作題幾不花時間思考。拿高分，所憑的大概就是長期訓練出來的敏捷思考能力吧！
多作題，多動腦，真是學好數學的不二法門！
高三２ 黃郁茹
數學一直都是我最喜歡的看，因為它學起來比其它科都有趣。雖然我常常解題目解很久都解不出來，或者考試考不好，但我還是很喜歡，因為思考題目的過程才是真正有趣的地方。有趣的部分，我一定花時間去做。當我碰到很多題目，而時間有限時，與其參考答案快速 完成，我寧願選幾題來慢慢地詳解。如果能夠自己解出一兩題，感覺上就能勝過快速做完很多題的滿足。上課也有趣味的部分。我最喜歡聽老師慢慢地講一些很基本的概念。我每次都是在自己好像已經懂的內容裡，發現一些問題。老師如果講得慢，我就有足夠的時間一邊聽 課一邊把問題想通。一節課下來，就西日覺得很有收穫。再來就下寫作業。以前我覺得寫作業是一種負擔，因為老師的題目會和自己做過的題目重復。寫起來很沒意思。高二以後我學會只寫老師出的作業，不做其它題目，我發現這樣比較輕鬆。作業寫完，都可以跟同學對答 案，對答案時會出現各種不同的問題，所以到最後通常都能把每一題想得很透徹。在家裡我就自己找課上本的基本觀念來想或者看圖書館借來的書。這樣子便可以隨時保持學數學的興致。